Презентация «Практические приложения подобия треугольников» поможет учителям более понятно и доступно объяснить восьмиклассникам один из важных уроков из курса геометрии. Материал не такой уж и простой, как может показаться на первый взгляд. Необходимо уделить ей достаточно внимания, чтобы школьники хорошо усвоили эту тему. В дальнейшем, тригонометрические задачи будут появляться на практике в домашних заданиях и контрольных работах. Чтобы у учеников восьмого класса успеваемость была на высоком уровне, необходимо, чтобы они не пропускали ни один урок, ведь темы, как в геометрии, так и в алгебре являются взаимосвязанными.
Презентация имеет понятную структуру. На слайдах элементы высвечиваются последовательно. Текст не является сложным, он написан с учетом того, чтобы школьники могли максимально хорошо понять. Нет отвлекающих ярких цветов, узоров на фоне и прочее.
слайды 1-2 (Тема презентации "Практические приложения подобия треугольников", пример)
На первом слайде мультимедийного файла предлагается выполнить задачу на построение. Необходимо получить треугольник, имея при этом два известных угла и биссектрису при вершине третьего угла. Как же это необходимо выполнить?
Ниже высвечивается три элемента. Первый элемент - это отрезок, который в результате будет являться биссектрисой полученного треугольника. Следующие два элемента - это данные углы. Мы видим, что у них разная мера. Это говорит о том, что получим неравнобедренный треугольник. Остается построить требуемую фигуру.
В результате построения получили треугольник, у которого при основании имеются два заранее заданных угла. Однако если провести параллельно основанию отрезок, проходящий через нижнюю вершину биссектрисы, то получим искомую фигуру. К тому же, можно увидеть, что углы при основаниях у первого и у второго треугольника равны, а вершина у них одна. Это говорит об их равенстве.
слайды 3-4 (примеры)
На следующем слайде имеем два подобных треугольника. При этом, если внимательно рассмотреть их, то можно выяснить, что они прямоугольные. На данном слайде будет говориться о нахождении высоты. Так как треугольники являются подобными по первому признаку, то отношение их высот, будет равен отношению их катетов, к которым опущены высоты. Из пропорции можно выразить искомую высоту.
Чтобы было понятнее, ниже приводится пример с численными значениями. Если восьмиклассники не смогут решить их самостоятельно, то можно продемонстрировать им решение из этого же слайда. Аналогичным же образом можно найти и другие стороны, использую знания о подобных треугольниках.
слайд 5 (пример)
Для начала необходимо исследовать фигуры. Как видно, они являются подобными. Ведь они имеют два равных угла, что говорит о том, что выполняется первый признак подобия треугольников.
Исходя из подобия треугольников, можно написать пропорциональное соотношение соответствующих сторон. Из получившегося равенства можно выразить искомую сторону. Для лучшего понимания дается пример с численными значениями. Основание маленького треугольника в тысячу раз меньше основания большого треугольника. Также известны длины этих оснований.
Численное решение приводится на следующем слайде. Здесь же даны меры углов. Выразим из равенства, которое получили на прошлом слайде искомую сторону. Далее, подставим имеющиеся данные. Таким образом, получим длину искомой стороны. Другими словами, получили расстояние до недопустимой точки.
Итак, благодаря данному мультимедийному файлу школьники ознакомятся с построением подобных треугольников, также научаться находить высоту некоторого треугольника, зная данные о сторонах подобного ему треугольника. Очень важно, чтобы ученики восьмого класса научились составлять пропорции и работать с ними, то есть выражать некоторые элементы из равенства.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Практические приложения подобия треугольников
Проверка теста № задания Вариант №1 Вариант №2 № 1 1 2 № 2 3 4 № 3 3 2 № 4 1 4 № 5 2 1
«5» – 5 заданий «4» – 4 задания «3» – 3 задания «2» – менее 3 заданий
Жители Древнего Египта задались вопросом: «Как найти высоту одной из громадных пирамид?» Фалес нашёл решение этой задачи. Он воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды.»
Свойства подобия издавна широко использовались на практике при составлении планов, карт, при выполнении архитектурных чертежей и чертежей различных деталей машин и механизмов.
Найдите высоту здания (в метрах), длина солнечной тени которого равна 27 м, а солнечная тень человека ростом 1 м 60 см равна 2 м 40 см.
Найдите ширину реки (СВ), если, выполнив некоторые измерения на одном берегу реки (АВ=5 м, AD =12 м, АМ=3 м), можно построить два подобных треугольника ACD и АВМ.
Дерево высотой 8,8 м отбрасывает тень. Оно полностью заслоняет от солнца дерево высотой 4 м, находящееся от него на расстоянии 6 м, как показано на рисунке. Определите, на какое расстояние отбрасывает тень большее дерево. Ответ дайте в метрах.
Н – 20 Е – 18 Р – 15 В – 11 11 18 15 20
11 18 15 20 В Е Р Н
По способу Жюля Верна (1828-1905)
Окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг – геометрия Ле Корбюзье
ОЦЕНИ СВОЮ РАБОТУ НА УРОКЕ «+» - справился с заданием «+-» - были затруднения «-» - не справился с заданием
Луч света, исходящий из источника света, расположенного на вертикальной мачте высотой 12 м, отразившись от зеркальной горизонтальной поверхности, попал в приемник, расположенный на другой вертикальной мачте высотой 6м. Угол падения луча света равен углу его отражения, как указано на рисунке. Расстояние между основаниями мачт равно 15 м. Найдите расстояние между основанием мачты источника света и точкой отражения.
Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 24 см, а длина – 70 см. Расстояние между точками А и В составляет 29,6 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
В этом материале представлен подробный конспект урока по геометрии в 8 классе по теме "Подобие треугольников. Решение практических задач". Урок был составлен с учётом ФГОС....
Повторение теоретического материала Что могут обозначать на схеме два верхних треугольника? Что обозначают стрелки, проведенные от этих треугольников? Сформулируйте определение подобия и три признака подобия А о чем вам говорят три нижних треугольника? Что за обозначения на них?
Тест. Если высказывание истинно – отвечаем «Да», если ложно - Нет 1.Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны. 2.Два равносторонних треугольника всегда подобны. 3.Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 4.Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники? 5.Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон. 6.Если два угла одного треугольника равны 60 и 50, а два угла другого треугольника равны 50 и 80, то такие треугольники подобны. 7.Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу. 8.Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны пропорциональны. 9.Если отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, проведенной из вершины прямого угла, равны 2 и 8 см, то эта высота равна 4 см. 10.Если медиана треугольника равна 9 см, то расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан равно 6 см.
§ 1 Метод подобия и его применение при решении задач на построение
Давайте познакомимся с методом подобия, который применяется при решении задач на построение треугольников, а также рассмотрим, как свойства подобных треугольников используются для проведения измерительных работ на местности.
Рассмотрим применение метода подобия при решении задач на построение. Данный метод состоит в том, что на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят уже сам искомый треугольник.
Задача: Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.
Даны два угла и отрезок - биссектриса при вершине третьего угла.
Требуется построить треугольник по данным элементам.
Построение:
Построим треугольник подобный искомому. Для этого сначала начертим произвольный отрезок А1В1, затем построим треугольник А1В1С с углами А1 и В1, равными данным углам. С помощью циркуля и линейки разделим угол С пополам, получим биссектрису и отложим на ней отрезок СD, равный данному отрезку. Через точку D проведем прямую, параллельную А1В1, эта прямая пересечет стороны угла С в точках А и В. Треугольник АВС - искомый.
В самом деле, по построению биссектриса СD треугольника АВС равна данному отрезку, а так как А1В1 параллельна АВ, то ∠А=∠А1, ∠В=∠В1 как соответственные углы при параллельных прямых А1В1 и АВ и секущих АС и ВС. Значит, два угла треугольника АВС соответственно равны данным углам. Таким образом, треугольник АВС удовлетворяет всем требованиям задачи.
Эта задача имеет единственное решение, и оно возможно, если сумма двух данных углов меньше 180°.
Подобием пользуются архитекторы, конструкторы, геодезисты, художники и многие другие специалисты. Перед тем как строить дом, завод или другое сооружение, сначала создают его план - уменьшенное изображение будущего строения. Увеличивая фотоснимки, тоже получают подобные изображения.
§ 2 Определение высоты предмета
С помощью подобия треугольников можно измерять высоты деревьев, вышек, заводских труб и т.д.
Предположим, что нам нужно определить высоту дерева.
Обозначим высоту дерева СD. На некотором расстоянии от дерева поставим шест АВ с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку дерева в точку С. Далее отметим на земле точку М, в которой прямая АС пересекается с ВD. По рисунку видим, получаются два подобных треугольника МВА и МDС (угол М - общий, шест и дерево перпендикулярны к поверхности земли), треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников, т.е. по двум углам. Так как треугольники подобны, то стороны пропорциональны, т.е.
Длину шеста АВ, а также расстояния МВ и МD мы всегда можем измерить.
Например: МВ = 3 м, МD = 6,3 м; АВ = 1,5 м, тогда
Также для определения высоты дерева можно использовать зеркало.
Луч света FD, отражается от зеркала в точке D и попадает в глаз человека в точку В, получается подобие треугольников.
Таким способом Фалес еще в 6 веке до н.э. измерил высоту египетской пирамиды, удивив тогдашних мудрецов.
§ 3 Определение расстояния до недоступной точки
Свойства подобных треугольников применяются и в задачах, где нужно определить расстояние до недоступной точки.
Предположим, мы сидим на одном берегу реки, т.е. в точке А, а на другом берегу другой человек - это точка В, и нам нужно определить расстояние до него - АВ.
Для этого выбираем на местности точку С, измеряем расстояние АС. Затем, используя астролябию - прибор, с помощью которого измеряются углы на местности, измеряем углы А и С. Далее на листе бумаги строим произвольный треугольник А1В1С1, у которого ∠А=∠А1, ∠C=∠C1 . Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, значит,
Таким образом, по известным нам расстояниям мы можем теперь найти неизвестную величину- расстояние до недоступной точки.
Список использованной литературы:
- Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с. : ил.
- Н.Ф.Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии. 8 класс. – Москва, «Вако», 2005.
- Л.С.Атанасян и др. Методические рекомендации к учебнику. – Москва, «Просвещение», 2001.
- Д.А.Мальцева. Математика. 9 класс ГИА 2014. – Москва, Народное образование, 2013.
- О.В.Белицкая. Геометрия. 8 класс. Тесты. – Саратов, «Лицей», 2009.
- С.П.Бабенко, И.С.Маркова. Геометрия 8. Комплексная тетрадь для контроля знаний. – Москва, «Аркти», 2014.
Конспект урока
Тема урока: «Практические приложения подобия треугольников»
Учитель: Киселёва Н.Е.
МБОУ «Никольская ООШ №9»
предмет: геометрия
класс: 8
Цели и задачи урока:
Образовательные
Развивающие
- формировать качества мышления, характерные для математической деятельности, необходимые для продуктивной жизни в обществе.
Воспитательные
Оборудование :
- интерактивный комплекс;
- флипчарт для сопровождения урока;
- дидактический материал для решения задач;
- описание практической работы;
- планшет для регистрации полученных измерений;
- микрокалькулятор;
- рулетка;
- зеркало;
Тип урока:
Структура урока:
- Организационный момент
- Формулировка целей урока
- Актуализация знаний
- Выполнение практической работы
- Оценка результатов практической работы
- Разработка памятки
- Решение задач
- Домашнее задание.
- Рефлексия
Ход урока
1. Организационный момент:
Приветствие учащихся, мобилизация внимания.
Слайд 2.
Эпиграфом к нашему уроку будут слова известного русского кораблестроителя Алексея Николаевича Крылова «Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умения».
2. Постановка проблемы и цели урока:
Учитель: Ребята, какую тему вы изучали на последних уроках геометрии?
Обучающиеся: подобные треугольники
Признаки подобных треугольников
Учитель: Сегодня на уроке мы будем применять свойства подобных треугольников при решении задач. Вспомним пройденный материал.
3. Актуализация опорных знаний.
Решение задач по готовым чертежам с использованием интерактивной доски.
Вопросы для обучающихся.
- Какие треугольники вы видите на чертежах?
- Какие они по виду углов?
- По какому признаку эти треугольники подобны?
- Что такое коэффициент подобия?
- Чему равен коэффициент подобия в этих задачах?
- Что показывает коэффициент подобия?
- Найдите чему равна длина отрезка АВ?
Обучающиеся делают вывод: длина отрезка АВ в k раз больше длины сходственной стороны другого треугольника
Учитель: теперь перейдём к решению задач в реальной жизни.
Как узнать высоту недосягаемого предмета? дерева, столба, здания, скалы… используя свойства подобных треугольников.
Послушайте притчу о том, как Фалес определил высоту пирамиды и укажите каким способом он это сделал?
«Усталый пришел северный чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.
Кто ты? - спросил верховный жрец.
Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.
Жрец надменно продолжал:
Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? - жрецы согнулись от хохота. - Будет хорошо, -- насмешливо продолжал жрец, -- если ты ошибешься не более, чем на сто локтей.
Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра. – ответил Фалес.
Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы Великого Египта.
Хорошо, сказал фараон. - Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство”.
На следующий день Фалес определил высоту пирамиды.»
Обучающиеся дают объяснения.
Учитель: Геометрия всегда решала те задачи, которые перед ней ставила жизнь. Греческие ученые решили множество практических задач, которые до них люди не умели решать.
Верно, Фалес научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени:
Как это делалось понятно по слайду флипчарта.
Учитель: Измерить высоту недосягаемого предмета на практике мы можем с использованием шеста. Этот способ можно применять, когда нет солнца и не видно тени от предметов. Объясните, применяя свойства подобных треугольников.
Обучающиеся дают объяснения.
Учитель : Сейчас мы воспользуемся ещё одним способом определения высоты недосягаемого предмета и поможет нам предмет – зеркало. Выполним практическую работу.
Зеркало кладут горизонтально и отходят от него назад в такую точку, стоя в которой, наблюдатель видит в зеркале верхушку предмета. Луч света, отражаясь от зеркала в точке, попадает в глаз человека. Помните: угол падения равен углу отражения (закон отражения).
Какие отрезки необходимо измерить для определения высоты кабинета?
4. Практическая работа «Измерение высоты объекта»
Цель работы:
Найти высоту школьного кабинета.
Инструменты: зеркало, рулетка, микрокалькулятор, бумага для записей.
Описание работы:
Выполнять работу вы будете группой.
Распределите обязанности!
Выберите наблюдателя, техника, инженера, расчётчика.
- Положите зеркало на горизонтальную ровную поверхность от наблюдаемой точки.
- Наблюдатель отходит от зеркала до тех пор, пока не увидит наблюдаемую точку в центре зеркала.
- Инженер на бумаге аккуратно выполняет чертёж, и поясняет технику , какие замеры выполнять. Соблюдайте правила техники безопасности при работе с рулеткой и зеркалом. Полученные данные отмечают на чертеже.
- Группа решает задачу и Расчетчик выполняет вычисления на микрокалькуляторе.
- Данные занесите в таблицу на интерактивной доске.
- Оцените полученный результат и сделайте вывод.
Полученные результаты записывают в таблицу
группа | 1группа | 2 группа | 3 группа |
Высота кабинета |
- Получение и оценка результатов практической работы
Говорим о погрешности. Для более точного результата необходимо опыт повторить несколько раз и найти среднее значение.
Так вот, ребята, летом вы можете не имея под рукой рулетки и зеркала, повторить опыт. Подумайте, что может заменить рулетку и что зеркало?
Обучающиеся: Рулетку заменит шаг человека (65-75см), а зеркало заменит лужа.
А где мы можем полученные знания и умения применить?
- Памятка
По итогам урока обучающимся учитель раздаёт памятки.
7. Решение задач
Предлагается решить три задачи в парах из открытого банка задач ГИА по математике модуля «Реальная математика»
Задача №1
Задача №2
Определите высоту дерева с использованием зеркала, если рост человека 153 см. Расстояние от центра зеркала до человека 1,2 м, а расстояние от центра зеркала до дерева 4,8 м.
Задача №3
Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 10 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 5 шагам. На какой высоте расположен фонарь?
Ответы заносят в таблицу, с использованием интерактивной доски
Номер задачи | 1 пара | 2пара |
8. Домашнее задание: №579, №583
9. Рефлексия «Пирамида»
Какое геометрическое тело в культуре символизирует
любое дело, у которого четко прослеживаются все стадии роста и завершения.
На пирамиду обучающиеся наклеивают грань соответствующего цвета.
- Заключение
Геометрия – это наука, которая обладает всеми свойствами хрустального стекла, такая же прозрачная в рассуждениях, безупречная в доказательствах, ясная в ответах, гармонично сочетающая в себе прозрачность мысли и красоту человеческого разума. Геометрия до конца не изученная наука, и может быть, многие открытия ждут именно вас. Желаю удачи в дальнейшем изучении науки.
Спасибо за урок.
Предварительный просмотр:
Самоанализ урока геометрии
«Практические приложения подобия треугольников»
класс:8
Данный урок по главе «Подобные треугольники», первый урок в блоке «Применение подобия». Далее следует продолжение блока с рассмотрением других практических способов применения подобия.
Тип урока: урок комплексного применения знаний
Планируя урок, поставила перед собой следующие цели и задачи:
Образовательные
- показать применение подобия треугольников при проведении измерительных работ на местности;
- показать взаимосвязь теории с практикой;
- вырабатывать у учащихся навыки использования теории подобных треугольников при решении разнообразных задач.
Развивающие
- повышать интерес учащихся к геометрии;
- активизировать познавательную деятельность учащихся;
- формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.
Воспитательные
- формировать умение работать в команде;
- воспитывать уверенность в общении.
Считаю, что при построении схемы урока, я постаралась эти цели объединить, сделать комплексными. Но приоритетными задачами оставались для меня достижение понимания обучающимися практической значимости полученных знаний.
Структура урока была выстроена чётко по данному типу урока. Соблюдён алгоритм. То есть, пройдены все этапы:
- актуализация знаний, необходимых для их творческого применения знаний;
- обобщение и систематизация знаний и способов деятельности;
- формирование универсальных учебных действий;
- контроль универсальных учебных действий.
Я постаралась обеспечить логическую связь между отдельными этапами, вопрос, поставленный в конце каждого этапа, является задачей для следующего.
Главный акцент делается на то, чтобы ученик смог построить математическую модель реальной ситуации и, используя ранее полученные знания, смог решить задачу.
В начале урока использовала фронтальную работу, которая позволила актуализировать знания учеников. Затем, была поставлена проблема, которая позволила мотивировать обучающихся на дальнейшую работу. Была создана реальная ситуация, которую обучающиеся решали группой, проводя практическую работу. На этапе контроля знаний, ученики решали математические задачи с практическим содержанием, встречающиеся на государственной итоговой аттестации, работая в парах.
Учебный кабинет на данном уроке стал площадкой для выполнения практического задания. На уроке использован интерактивный комплекс, который позволил повысить плотность урока и обеспечить наглядность.
При проведении практической работы мною был использован системно-деятельностный подход. Смена видов деятельности позволила избежать перегрузки обучающихся.
Заинтересованность обучающихся поддерживалась практической направленностью задач и нестандартным способом проведения измерений. А так же интересными историческими фактами.
Я старалась расположить к себе детей, создать комфортные условия, используя интонацию, доброе отношение, улыбку. В критической ситуации настроила держать себя спокойно. Быть готовой к любому повороту событий.
Египетские пирамиды, упоминание о которых прозвучало в начале урока, и пирамида, которая позволила провести рефлексию знаний, явились неким опорным сигналом. Надеюсь, он позволил детям запомнить практические способы измерения высот недосягаемого предмета и при необходимости применять их.
Считаю, что поставленные цели достигнуты.
ЗАВЕРЯЮ. Директор школы Е.Н. Поликарпова
Предварительный просмотр:
Задача №1
Дерево высотой 1 м находится на расстоянии 8 шагов от фонарного столба и отбрасывает тень длиной 4 шага. Определите высоту фонарного столба.
Задача №2