Введение
Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Логарифмические уравнения и неравенства
1. Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
log a x = b . (1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .
Пример 1. Решить уравнения:
a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, c)
Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 / 3 ; c)
или x = 1.Приведем основные свойства логарифма.
Р1. Основное логарифмическое тождество:
где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:
log a N 1 ·N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Замечание. Если N 1 ·N 2 > 0, тогда свойство P2 примет вид
log a N 1 ·N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 ·N 2 > 0).
Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Замечание. Если
, (что равносильно N 1 N 2 > 0) тогда свойство P3 примет вид
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:
log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s ), то
log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
в частности, если N = b , получим
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
и, если в (5) c - четное число (c = 2n ), имеет место
(b
> 0, a
≠ 0, |a
| ≠ 1). (6)
Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log a x :
1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 < log a x 2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).
4. log a 1 = 0 и log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, ) используются при решении логарифмических уравнений.
Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях « » , « » . В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.
Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.
Определение :
Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.
Например:
Log 3 9 = 2, так как 3 2 = 9
Свойства логарифмов:
Частные случаи логарифмов:
Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.
Найдите корень уравнения: log 3 (4–x) = 4
Так как log b a = x b x = a, то
3 4 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
Проверка:
log 3 (4–(–77)) = 4
log 3 81 = 4
3 4 = 81 Верно.
Ответ: – 77
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 2 (4 – x) = 7
Найдите корень уравнения log 5 (4 + x) = 2
Используем основное логарифмическое тождество.
Так как log a b = x b x = a, то
5 2 = 4 + x
x =5 2 – 4
x = 21
Проверка:
log 5 (4 + 21) = 2
log 5 25 = 2
5 2 = 25 Верно.
Ответ: 21
Найдите корень уравнения log 3 (14 – x) = log 3 5.
Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.
14 – x = 5
x = 9
Сделайте проверку.
Ответ: 9
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log 5 (5 – x) = log 5 3.
Найдите корень уравнения: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
Если log c a = log c b, то a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x = 6
Сделайте проверку.
Ответ: 6
Найдите корень уравнения log 1/8 (13 – x) = – 2.
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 – x
x = 13 – 64
x = – 51
Сделайте проверку.
Небольшое дополнение – здесь используется свойство
степени ().
Ответ: – 51
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 1/7 (7 – x) = – 2
Найдите корень уравнения log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.
Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:
log a b m = m∙log a b
log 2 (4 – x) = log 2 5 2
Если log c a = log c b, то a = b
4 – x = 5 2
4 – x = 25
x = – 21
Сделайте проверку.
Ответ: – 21
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
Решите уравнение log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
Если log c a = log c b, то a = b
x 2 + 4x = x 2 + 11
4x = 11
x = 2,75
Сделайте проверку.
Ответ: 2,75
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).
Решите уравнение log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.
Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:
log 2 (......)
Представляем 1 как логарифм с основанием 2:
1 = log 2 2
log с (ab) = log с a + log с b
log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2
Получаем:
log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)
Если log c a = log c b, то a = b, значит
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0,4
Сделайте проверку.
Ответ: 0,4
Решите самостоятельно: Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати,
корни равны 6 и – 4.
Корень "– 4" не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при " – 4" оно равно « – 5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.
Ответ: 6.
Решите самостоятельно:
Решите уравнение log x –5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Подготовка к итоговому тестированию по математике включает в себя важный раздел - «Логарифмы». Задания из этой темы обязательно содержатся в ЕГЭ. Опыт прошлых лет показывает, что логарифмические уравнения вызвали затруднения у многих школьников. Поэтому понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки.
Сдайте аттестационное испытание успешно с помощью образовательного портала «Школково»!
При подготовке к единому государственному экзамену выпускникам старших классов требуется достоверный источник, предоставляющий максимально полную и точную информацию для успешного решения тестовых задач. Однако учебник не всегда оказывается под рукой, а поиск необходимых правил и формул в Интернете зачастую требует времени.
Образовательный портал «Школково» позволяет заниматься подготовкой к ЕГЭ в любом месте в любое время. На нашем сайте предлагается наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации по логарифмам, а также по с одним и несколькими неизвестными. Начните с легких уравнений. Если вы справились с ними без труда, переходите к более сложным. Если у вас возникли проблемы с решением определенного неравенства, вы можете добавить его в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже.
Найти необходимые формулы для выполнения задачи, повторить частные случаи и способы вычисления корня стандартного логарифмического уравнения вы можете, заглянув в раздел «Теоретическая справка». Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме.
Чтобы без затруднений справляться с заданиями любой сложности, на нашем портале вы можете ознакомиться с решением некоторых типовых логарифмических уравнений. Для этого перейдите в раздел «Каталоги». У нас представлено большое количество примеров, в том числе с уравнениями профильного уровня ЕГЭ по математике.
Воспользоваться нашим порталом могут учащиеся из школ по всей России. Для начала занятий просто зарегистрируйтесь в системе и приступайте к решению уравнений. Для закрепления результатов советуем возвращаться на сайт «Школково» ежедневно.
На данном уроке мы повторим основные теоретические факты о логарифмах и рассмотрим решение простейших логарифмических уравнений.
Напомним центральное определение - определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Данное уравнение имеет единственный корень, его называют логарифмом b по основанию а:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Напомним основное логарифмическое тождество .
Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:
Итак мы видим, что каждому значению ставится в соответствие значение . Обозначим b за х (), с за у, и таким образом получаем логарифмическую функцию:
Например: 
Вспомним основные свойства логарифмической функции.
Еще раз обратим внимание, здесь , т. к. под логарифмом может стоять строго положительное выражение, как основание логарифма.
Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях
График функции при изображен черным цветом. Рис. 1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности.
График функции при изображен красным цветом. Рис. 1.
Свойства данной функции:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно (строго) возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При монотонно (строго) убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Свойства логарифмической функции являются ключом к решению разнообразных логарифмических уравнений.
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение, все остальные логарифмические уравнения, как правило, сводятся к такому виду.
Поскольку равны основания логарифмов и сами логарифмы, равны и функции, стоящие под логарифмом, но мы должны не упустить область определения. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:
Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.
Таким образом, мы получили смешанную систему, в которой есть уравнение и неравенство:
Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.
Сформулируем метод решения простейших логарифмических уравнений:
Уравнять основания логарифмов;
Приравнять подлогарифмические функции;
Выполнить проверку.
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 1 - решить уравнение:
Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства первый логарифм:
Пример 2 - решить уравнение:
Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение:
Найдем корень и подставим его в неравенство:
Получили неверное неравенство, значит, найденный корень не удовлетворяет ОДЗ.
Пример 3 - решить уравнение:
Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:
Найдем корень и подставим его в неравенство:
Очевидно, что только первый корень удовлетворяет ОДЗ.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.