Выражения, преобразование выражений
Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование
В этой статье мы поговорим о преобразовании выражений со степенями. Сначала мы остановимся на преобразованиях, которые выполняются с выражениями любых видов, в том числе и со степенными выражениями, таких как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. А дальше разберем преобразования, присущие именно выражениям со степенями: работа с основанием и показателем степени, использование свойств степеней и т.д.
Навигация по странице.
Что такое степенные выражения?
Термин «степенные выражения» практически не встречается школьных учебниках математики, но он довольно часто фигурирует в сборниках задач, особенно предназначенных для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, например, . После анализа заданий, в которых требуется выполнить какие-либо действия со степенными выражениями, становится понятно, что под степенными выражениями понимают выражения, содержащие в своих записях степени. Поэтому, для себя можно принять такое определение:
Определение.
Степенные выражения – это выражения, содержащие степени.
Приведем примеры степенных выражений . Причем будем их представлять согласно тому, как происходит развитие взглядов на от степени с натуральным показателем до степени с действительным показателем.
Как известно, сначала происходит знакомство со степенью числа с натуральным показателем, на этом этапе появляются первые самые простые степенные выражения типа 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.п.
Чуть позже изучается степень числа с целым показателем, что приводит к появлению степенных выражений с целыми отрицательными степенями, наподобие следующих: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .
В старших классах вновь возвращаются к степеням. Там вводится степень с рациональным показателем, что влечет появление соответствующих степенных выражений: , , и т.п. Наконец, рассматриваются степени с иррациональными показателями и содержащие их выражения: , .
Перечисленными степенными выражениями дело не ограничивается: дальше в показатель степени проникает переменная, и возникают, например, такие выражения 2 x 2 +1 или . А после знакомства с , начинают встречаться выражения со степенями и логарифмами, к примеру, x 2·lgx −5·x lgx .
Итак, мы разобрались с вопросом, что представляют собой степенные выражения. Дальше будем учиться преобразовывать их.
Основные виды преобразований степенных выражений
Со степенными выражениями можно выполнять любые из основных тождественных преобразований выражений . Например, можно раскрывать скобки, заменять числовые выражения их значениями, приводить подобные слагаемые и т.д. Естественно, при этом стоит надо соблюдать принятый порядок выполнения действий . Приведем примеры.
Пример.
Вычислите значение степенного выражения 2 3 ·(4 2 −12) .
Решение.
Согласно порядку выполнения действий сначала выполняем действия в скобках. Там, во-первых, заменяем степень 4 2 ее значением 16 (при необходимости смотрите ), и во-вторых, вычисляем разность 16−12=4 . Имеем 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4 .
В полученном выражении заменяем степень 2 3 ее значением 8 , после чего вычисляем произведение 8·4=32 . Это и есть искомое значение.
Итак, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32 .
Ответ:
2 3 ·(4 2 −12)=32 .
Пример.
Упростить выражения со степенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 .
Решение.
Очевидно, что данное выражение содержит подобные слагаемые 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 , и мы можем привести их: .
Ответ:
3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1 .
Пример.
Представьте выражение со степенями в виде произведения.
Решение.
Справиться с поставленной задачей позволяет представление числа 9
в виде степени 3 2
и последующее использование формулы сокращенного умножения разность квадратов:
Ответ:
Также существует ряд тождественных преобразований, присущих именно степенным выражениям. Дальше мы их и разберем.
Работа с основанием и показателем степени
Встречаются степени, в основании и/или показателе которых находятся не просто числа или переменные, а некоторые выражения. В качестве примера приведем записи (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
При работе с подобными выражениями можно как выражение в основании степени, так и выражение в показателе заменить тождественно равным выражением на ОДЗ его переменных. Другими словами, мы можем по известным нам правилам отдельно преобразовывать основание степени, и отдельно – показатель. Понятно, что в результате этого преобразования получится выражение, тождественно равное исходному.
Такие преобразования позволяют упрощать выражения со степенями или достигать других нужных нам целей. Например, в упомянутом выше степенном выражении (2+0,3·7) 5−3,7 можно выполнить действия с числами в основании и показателе, что позволит перейти к степени 4,1 1,3 . А после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в основании степени (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) мы получим степенное выражение более простого вида a 2·(x+1) .
Использование свойств степеней
Один из главных инструментов преобразования выражений со степенями – это равенства, отражающие . Напомним основные из них. Для любых положительных чисел a и b и произвольных действительных чисел r и s справедливы следующие свойства степеней:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Заметим, что при натуральных, целых, а также положительных показателях степени ограничения на числа a и b могут быть не столь строгими. Например, для натуральных чисел m и n равенство a m ·a n =a m+n верно не только для положительных a , но и для отрицательных, и для a=0 .
В школе основное внимание при преобразовании степенных выражений сосредоточено именно на умении выбрать подходящее свойство и правильно его применить. При этом основания степеней обычно положительные, что позволяет использовать свойства степеней без ограничений. Это же касается и преобразования выражений, содержащих в основаниях степеней переменные – область допустимых значений переменных обычно такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения, что позволяет свободно использовать свойства степеней. Вообще, нужно постоянно задаваться вопросом, а можно ли в данном случае применять какое-либо свойство степеней, ведь неаккуратное использование свойств может приводить к сужению ОДЗ и другим неприятностям. Детально и на примерах эти моменты разобраны в статье преобразование выражений с использованием свойств степеней . Здесь же мы ограничимся рассмотрением нескольких простых примеров.
Пример.
Представьте выражение a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 в виде степени с основанием a .
Решение.
Сначала второй множитель (a 2) −3
преобразуем по свойству возведения степени в степень: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6
. Исходное степенное выражение при этом примет вид a 2,5 ·a −6:a −5,5
. Очевидно, остается воспользоваться свойствами умножения и деления степеней с одинаковым основанием, имеем
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2
.
Ответ:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2 .
Свойства степеней при преобразовании степенных выражений используются как слева направо, так и справа налево.
Пример.
Найти значение степенного выражения .
Решение.
Равенство (a·b) r =a r ·b r , примененное справа налево, позволяет от исходного выражения перейти к произведению вида и дальше . А при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: .
Можно было выполнять преобразование исходного выражения и иначе:
Ответ:
.
Пример.
Дано степенное выражение a 1,5 −a 0,5 −6 , введите новую переменную t=a 0,5 .
Решение.
Степень a 1,5 можно представить как a 0,5·3 и дальше на базе свойства степени в степени (a r) s =a r·s , примененного справа налево, преобразовать ее к виду (a 0,5) 3 . Таким образом, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6 . Теперь легко ввести новую переменную t=a 0,5 , получаем t 3 −t−6 .
Ответ:
t 3 −t−6 .
Преобразование дробей, содержащих степени
Степенные выражения могут содержать дроби со степенями или представлять собой такие дроби. К таким дробям в полной мере применимы любые из основных преобразований дробей , которые присущи дробям любого вида. То есть, дроби, которые содержат степени, можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с их числителем и отдельно со знаменателем и т.д. Для иллюстрации сказанных слов рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Упростить степенное выражение .
Решение.
Данное степенное выражение представляет собой дробь. Поработаем с ее числителем и знаменателем. В числителе раскроем скобки и упростим полученное после этого выражение, используя свойства степеней, а в знаменателе приведем подобные слагаемые:
И еще изменим знак знаменателя, поместив минус перед дробью: .
Ответ:
.
Приведение содержащих степени дробей к новому знаменателю проводится аналогично приведению к новому знаменателю рациональных дробей. При этом также находится дополнительный множитель и выполняется умножение на него числителя и знаменателя дроби. Выполняя это действие, стоит помнить, что приведение к новому знаменателю может приводить к сужению ОДЗ. Чтобы этого не происходило, нужно, чтобы дополнительный множитель не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.
Пример.
Приведите дроби к новому знаменателю: а) к знаменателю a , б) к знаменателю .
Решение.
а) В этом случае довольно просто сообразить, какой дополнительный множитель помогает достичь нужного результата. Это множитель a 0,3
, так как a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a
. Заметим, что на области допустимых значений переменной a
(это есть множество всех положительных действительных чисел) степень a 0,3
не обращается в нуль, поэтому, мы имеем право выполнить умножение числителя и знаменателя заданной дроби на этот дополнительный множитель:
б) Присмотревшись повнимательнее к знаменателю, можно обнаружить, что
и умножение этого выражения на даст сумму кубов и , то есть, . А это и есть новый знаменатель, к которому нам нужно привести исходную дробь.
Так мы нашли дополнительный множитель . На области допустимых значений переменных x
и y
выражение не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
Ответ:
а) , б) .
В сокращении дробей, содержащих степени, также нет ничего нового: числитель и знаменатель представляются в виде некоторого количества множителей, и сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.
Пример.
Сократите дробь: а) , б) .
Решение.
а) Во-первых, числитель и знаменатель можно сократить на чисел 30
и 45
, который равен 15
. Также, очевидно, можно выполнить сокращение на x 0,5 +1
и на . Вот что мы имеем:
б) В этом случае одинаковых множителей в числителе и знаменателе сразу не видно. Чтобы получить их, придется выполнить предварительные преобразования. В данном случае они заключаются в разложении знаменателя на множители по формуле разности квадратов:
Ответ:
а)
б) .
Приведение дробей к новому знаменателю и сокращение дробей в основном используется для выполнения действий с дробями. Действия выполняются по известным правилам. При сложении (вычитании) дробей, они приводятся к общему знаменателю, после чего складываются (вычитаются) числители, а знаменатель остается прежним. В результате получается дробь, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель – произведение знаменателей. Деление на дробь есть умножение на дробь, обратную ей.
Пример.
Выполните действия .
Решение.
Сначала выполняем вычитание дробей, находящихся в скобках. Для этого приводим их к общему знаменателю, который есть , после чего вычитаем числители:
Теперь умножаем дроби:
Очевидно, возможно сокращение на степень x 1/2 , после которого имеем .
Еще можно упростить степенное выражение в знаменателе, воспользовавшись формулой разность квадратов: .
Ответ:
Пример.
Упростите степенное выражение .
Решение.
Очевидно, данную дробь можно сократить на (x 2,7 +1) 2 , это дает дробь . Понятно, что надо еще что-то сделать со степенями икса. Для этого преобразуем полученную дробь в произведение . Это дает нам возможность воспользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: . И в заключение процесса переходим от последнего произведения к дроби .
Ответ:
.
И еще добавим, что можно и во многих случаях желательно множители с отрицательными показателями степени переносить из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, изменяя знак показателя. Такие преобразования часто упрощают дальнейшие действия. Например, степенное выражение можно заменить на .
Преобразование выражений с корнями и степенями
Часто в выражениях, в которыми требуется провести некоторые преобразования, вместе со степенями с дробными показателями присутствуют и корни. Чтобы преобразовать подобное выражение к нужному виду, в большинстве случаев достаточно перейти только к корням или только к степеням. Но поскольку работать со степенями удобнее, обычно переходят от корней к степеням. Однако, осуществлять такой переход целесообразно тогда, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков (это мы подробно разобрали в статье переход от корней к степеням и обратно После знакомства со степенью с рациональным показателем вводится степень с иррациональным показателем, что позволяет говорить и о степени с произвольным действительным показателем. На этом этапе в школе начинает изучаться показательная функция , которая аналитически задается степенью, в основании которой находится число, а в показателе – переменная. Так мы сталкиваемся со степенными выражениями, содержащими числа в основании степени, а в показателе - выражения с переменными, и естественно возникает необходимость выполнения преобразований таких выражений.
Следует сказать, что преобразование выражений указанного вида обычно приходится выполнять при решении показательных уравнений и показательных неравенств , и эти преобразования довольно просты. В подавляющем числе случаев они базируются на свойствах степени и нацелены по большей части на то, чтобы в дальнейшем ввести новую переменную. Продемонстрировать их нам позволит уравнение 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0 .
Во-первых, степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной (или выражения с переменными) и числа, заменяются произведениями. Это относится к первому и последнему слагаемым выражения из левой части:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0
,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0
.
Дальше выполняется деление обеих частей равенства на выражение 7 2·x
, которое на ОДЗ переменной x
для исходного уравнения принимает только положительные значения (это стандартный прием решения уравнений такого вида, речь сейчас не о нем, так что сосредоточьте внимание на последующих преобразованиях выражений со степенями):
Теперь сокращаются дроби со степенями, что дает .
Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению , которое равносильно . Проделанные преобразования позволяют ввести новую переменную , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения
Степень используется для упрощения записи операции умножения числа само на себя. Например, вместо записи можно написать 4 5 {\displaystyle 4^{5}} (объяснение такому переходу дано в первом разделе этой статьи). Степени позволяют упростить написание длинных или сложных выражений или уравнений; также степени легко складываются и вычитаются, что приводит к упрощению выражения или уравнения (например, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 {\displaystyle 4^{2}*4^{3}=4^{5}} ).
Примечание: если вам необходимо решить показательное уравнение (в таком уравнении неизвестное находится в показателе степени), прочитайте .
Шаги
Решение простейших задач со степенями
- 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
- 4 ∗ 4 = 16 {\displaystyle 4*4=16}
-
Умножьте полученный результат (в нашем примере 16) на следующее число. Каждый последующий результат будет пропорционально увеличиваться. В нашем примере умножьте 16 на 4. Вот так:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}
- 16 ∗ 4 = 64 {\displaystyle 16*4=64}
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=64*4*4}
- 64 ∗ 4 = 256 {\displaystyle 64*4=256}
- 4 5 = 256 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=256*4}
- 256 ∗ 4 = 1024 {\displaystyle 256*4=1024}
- Продолжайте умножать результат перемножения первых двух чисел на следующее число до тех пор, пока не получите окончательный ответ. Для этого перемножайте первые два числа, а затем полученный результат умножайте на следующее число в последовательности. Этот метод справедлив для любой степени. В нашем примере вы должны получить: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 {\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024} .
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}
-
Решите следующие задачи. Ответ проверьте при помощи калькулятора.
- 8 2 {\displaystyle 8^{2}}
- 3 4 {\displaystyle 3^{4}}
- 10 7 {\displaystyle 10^{7}}
-
На калькуляторе найдите клавишу, обозначенную как «exp», или « x n {\displaystyle x^{n}} », или «^». При помощи этой клавиши вы будете возводить число в степень. Вычислить степень с большим показателем вручную практически невозможно (например, степень 9 15 {\displaystyle 9^{15}} ), но калькулятор с легкостью справится с этой задачей. В Windows 7 стандартный калькулятор можно переключить в инженерный режим; для этого нажмите «Вид» –> «Инженерный». Для переключения в обычный режим нажмите «Вид» –> «Обычный».
- Проверьте полученный ответ при помощи поисковой системы (Google или Яндекс) . Воспользовавшись клавишей «^» на клавиатуре компьютера, введите выражение в поисковик, который моментально отобразит правильный ответ (и, возможно, предложит аналогичные выражения для изучения).
Сложение, вычитание, перемножение степеней
-
Складывать и вычитать степени можно только в том случае, если у них одинаковые основания. Если нужно сложить степени с одинаковыми основаниями и показателями, то вы можете заменить операцию сложения операцией умножения. Например, дано выражение 4 5 + 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}} . Помните, что степень 4 5 {\displaystyle 4^{5}} можно представить в виде 1 ∗ 4 5 {\displaystyle 1*4^{5}} ; таким образом, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}} (где 1 +1 =2). То есть посчитайте число подобных степеней, а затем перемножьте такую степень и это число. В нашем примере возведите 4 в пятую степень, а затем полученный результат умножьте на 2. Помните, что операцию сложения можно заменить операцией умножения, например, 3 + 3 = 2 ∗ 3 {\displaystyle 3+3=2*3} . Вот другие примеры:
- 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 {\displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}}
- 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}}
- 4 5 − 4 5 + 2 = 2 {\displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2}
- 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 {\displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}}
-
При перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (основание не меняется). Например, дано выражение x 2 ∗ x 5 {\displaystyle x^{2}*x^{5}} . В этом случае нужно просто сложить показатели, оставив основание без изменений. Таким образом, x 2 ∗ x 5 = x 7 {\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}} . Вот наглядное объяснение этого правила:
При возведении степени в степень показатели перемножаются. Например, дана степень . Так как показатели степени перемножаются, то (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}} . Смысл этого правила в том, что вы умножаете степень (x 2) {\displaystyle (x^{2})} саму на себя пять раз. Вот так:
- (x 2) 5 {\displaystyle (x^{2})^{5}}
- (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}}
- Так как основание одно и то же, показатели степени просто складываются: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}}
-
Степень с отрицательным показателем следует преобразовать в дробь (в обратную степень). Не беда, если вы не знаете, что такое обратная степень. Если вам дана степень с отрицательным показателем, например, 3 − 2 {\displaystyle 3^{-2}} , запишите эту степень в знаменатель дроби (в числителе поставьте 1), а показатель сделайте положительным. В нашем примере: 1 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{3^{2}}}} . Вот другие примеры:
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (основание при этом не меняется). Операция деления противоположна операции умножения. Например, дано выражение 4 4 4 2 {\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}} . Вычтите показатель степени, стоящей в знаменателе, из показателя степени, стоящей в числителе (основание не меняйте). Таким образом, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 {\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}} = 16 .
- Степень, стоящую в знаменателе, можно записать в таком виде: 1 4 2 {\displaystyle {\frac {1}{4^{2}}}} = 4 − 2 {\displaystyle 4^{-2}} . Помните, что дробь - это число (степень, выражение) с отрицательным показателем степени.
-
Ниже приведены некоторые выражения, которые помогут вам научиться решать задачи со степенями. Приведенные выражения охватывают материал, изложенный в этом разделе. Для того, чтобы увидеть ответ, просто выделите пустое пространство после знака равенства.
Решение задач с дробными показателями степени
-
Степень с дробным показателем (например, ) преобразуется в операцию извлечения корня. В нашем примере: x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} = x {\displaystyle {\sqrt {x}}} . Здесь неважно, какое число стоит в знаменателе дробного показателя степени. Например, x 1 4 {\displaystyle x^{\frac {1}{4}}} - это корень четвертой степени из «х», то есть x 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} .
-
Если показатель степени представляет собой неправильную дробь, то такую степень можно разложить на две степени, чтобы упростить решение задачи. В этом нет ничего сложного - просто вспомните правило перемножения степеней. Например, дана степень . Превратите такую степень в корень, степень которого будет равна знаменателю дробного показателя, а затем возведите этот корень в степень, равную числителю дробного показателя. Чтобы сделать это, вспомните, что 5 3 {\displaystyle {\frac {5}{3}}} = (1 3) ∗ 5 {\displaystyle ({\frac {1}{3}})*5} . В нашем примере:
- x 5 3 {\displaystyle x^{\frac {5}{3}}}
- x 1 3 = x 3 {\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}}
- x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 {\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}} = (x 3) 5 {\displaystyle ({\sqrt[{3}]{x}})^{5}}
- На некоторых калькуляторах есть кнопка для вычисления степеней (сначала нужно ввести основание, затем нажать кнопку, а затем ввести показатель). Она обозначается как ^ или x^y.
- Помните, что любое число в первой степени равно самому себе, например, 4 1 = 4. {\displaystyle 4^{1}=4.} Более того, любое число, умноженное или разделенное на единицу, равно самому себе, например, 5 ∗ 1 = 5 {\displaystyle 5*1=5} и 5 / 1 = 5 {\displaystyle 5/1=5} .
- Знайте, что степени 0 0 не существует (такая степень не имеет решения). При попытке решить такую степень на калькуляторе или на компьютере вы получите ошибку. Но помните, что любое число в нулевой степени равно 1, например, 4 0 = 1. {\displaystyle 4^{0}=1.}
- В высшей математике, которая оперирует мнимыми числами: e a i x = c o s a x + i s i n a x {\displaystyle e^{a}ix=cosax+isinax} , где i = (− 1) {\displaystyle i={\sqrt {(}}-1)} ; е - константа, примерно равная 2,7; а - произвольная постоянная. Доказательство этого равенства можно найти в любом учебнике по высшей математике.
Предупреждения
- При увеличении показателя степени ее значение сильно возрастает. Поэтому если ответ кажется вам неправильным, на самом деле он может оказаться верным. Вы можете проверить это, построив график любой показательной функции, например, 2 x .
-
Умножьте основание степени само на себя числом раз, равным показателю степени. Если вам нужно решить задачу со степенями вручную, перепишите степень в виде операции умножения, где основание степени умножается само на себя. Например, дана степень 3 4 {\displaystyle 3^{4}} . В этом случае основание степени 3 нужно умножить само на себя 4 раза: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 {\displaystyle 3*3*3*3} . Вот другие примеры:
Для начала перемножьте первые два числа. Например, 4 5 {\displaystyle 4^{5}} = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4*4*4*4*4} . Не волнуйтесь - процесс вычисления не такой сложный, каким кажется на первый взгляд. Сначала перемножьте первые две четверки, а затем замените их полученным результатом. Вот так:
Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.
Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.
Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами :
- скобки;
- возведение в степень;
- умножение;
- деление;
- сложение;
- вычитание.
Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.
Применение подобных
К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.
Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные .
Несколько наглядных примеров :
- 8x 2 и 3x 2 - оба числа имеют одну и ту же переменную второго порядка, поэтому они подобны и при сложении упрощаются до (8+3)x 2 =11x 2 , тогда как при вычитании получается (8-3)x 2 =5x 2 ;
- 4x 3 и 6x - а тут «х» имеет разную степень;
- 2y 7 и 33x 7 - содержат различные переменные, поэтому, как и в предыдущем случае, не относятся к подобным.
Разложение числа на множители
Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение . Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.
На заметку : множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.
Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений - даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей :
- 15x=3(5x);
- 60у 2 =(15y 2)4.
Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются - в этом нет смысла .
Основные способы упрощения
Первое, за что цепляется взгляд:
- наличие скобок;
- дроби;
- корни.
Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.
Вычисления в скобках
Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус - меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.
Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.
Сокращение дробей
Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель . Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:
- поиск и вынесение за скобки наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя;
- деление каждого верхнего элемента на знаменатель.
Когда выражение или его часть находится под корнем , первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак . Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).
Верный способ упростить подкоренное выражение - попытаться разложить его на множители , часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Другие маленькие хитрости и нюансы:
- эту операцию упрощения можно проводить с дробями, вынося её за знак как целиком, так и отдельно числитель или знаменатель;
- раскладывать и выносить за пределы корня часть суммы или разности нельзя ;
- при работе с переменными обязательно учитывайте её степень, она должна быть равной или кратной корню для возможности вынесения: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)=√(x 2 ×x)=x√(x);
- иногда допускается избавление от подкоренной переменной путём возведения её в дробную степень: √(y 3)=y 3/2 .
Упрощение степенного выражения
Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:
- Если между переменными стоит знак умножения - степени складываются.
- Когда они делятся друг на друга - из степени числителя вычитается она же знаменателя.
Единственное условие для такого упрощения - одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:
- 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2 ;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 =0.
Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам . И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:
- возведение члена в степень обозначает умножение его на самого себя определённое количество раз, т. е. x 2 =x×x;
- деление аналогично: если разложить степень числителя и знаменателя, то часть переменных сократится, тогда как оставшиеся «собираются», что равносильно вычитанию.
Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.
Видео
Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.
Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.
Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для
Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:
«Да куда уж проще» - говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.
Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.
Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).
Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители.
Поэтому, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы « » и « ».
Прочитал? Если да, то теперь ты готов.
Let"s go! (Поехали!)
Базовые операции упрощения выражений
Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.
Самый простой из них - это
1. Приведение подобных
Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.
Подобные - это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.
Например, в сумме подобные слагаемые - это и.
Вспомнил?
Привести подобные - значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.
А как же нам сложить друг с другом буквы? - спросишь ты.
Это очень легко понять, если представить, что буквы - это какие-то предметы.
Например, буква - это стул. Тогда чему равно выражение?
Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .
А теперь попробуй такое выражение: .
Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.
Например, - это (как обычно) стул, а - это стол.
стула стола стул столов стульев стульев столов
Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами .
Например, в одночлене коэффициент равен. А в он равен.
Итак, правило приведения подобных:
Примеры:
Приведите подобные:
Ответы:
2. (и подобны, так как, следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).
2. Разложение на множители
Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.
После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители , то есть представить в виде произведения.
Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.
Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме « », поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.
Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители)
Примеры:
Решения:
3. Сокращение дроби.
Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?
В этом вся прелесть сокращения.
Все просто:
Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.
Это правило вытекает из основного свойства дроби:
То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).
Чтобы сократить дробь, нужно:
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.
Примеры:
Принцип, я думаю, понятен?
Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить - это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.
Например: надо упростить.
Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.
Еще пример: сократить.
«Самые умные» сделают так:
Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: - это множитель, значит можно сокращать.
Но нет: - это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.
Вот другой пример: .
Это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на, а потом и на:
Можно и сразу поделить на:
Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:
Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».
То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).
Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).
Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:
Примеры:
Решения:
4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.
Давай вспомним:
Ответы:
1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:
2. Здесь общий знаменатель равен:
3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:
Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:
Начнем с простого:
a) Знаменатели не содержат букв
Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:
теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:
Попробуй сам:
Ответы:
b) Знаменатели содержат буквы
Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:
· в первую очередь мы определяем общие множители;
· затем выписываем все общие множители по одному разу;
· и домножаем их на все остальные множители, не общие.
Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:
Подчеркнем общие множители:
Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:
Это и есть общий знаменатель.
Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:
· раскладываем знаменатели на множители;
· определяем общие (одинаковые) множители;
· выписываем все общие множители по одному разу;
· домножаем их на все остальные множители, не общие.
Итак, по порядку:
1) раскладываем знаменатели на множители:
2) определяем общие (одинаковые) множители:
3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:
Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:
Кстати, есть одна хитрость:
Например: .
Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:
в степени
в степени
в степени
в степени.
Усложним задание:
Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?
Давай вспомним основное свойство дроби:
Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!
Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?
Итак, очередное незыблемое правило:
Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!
Но на что же надо домножить, чтобы получить?
Вот на и домножай. А домножай на:
Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».
Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.
Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?
Нет, поскольку его можно разложить на множители:
(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).
Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.
Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).
Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:
Еще пример:
Решение:
Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :
Отлично! Тогда:
Еще пример:
Решение:
Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:
Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:
Так и напишем:
То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.
Теперь приводим к общему знаменателю:
Усвоил? Сейчас проверим.
Задачи для самостоятельного решения:
Ответы:
5. Умножение и деление дробей.
Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:
Порядок действий
Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:
Посчитал?
Должно получиться.
Итак, напоминаю.
Первым делом вычисляется степень.
Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.
И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.
Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!
Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.
А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.
Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):
Хорошо, это все просто.
Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?
Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.
Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.
Например:
Упростим выражение.
1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).
2) Получаем:
Умножение дробей: что может быть проще.
3) Теперь можно и сократить:
Ну вот и все. Ничего сложного, правда?
Еще пример:
Упрости выражение.
Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.
Решение:
Перво-наперво определим порядок действий.
Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.
Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.
Схематически пронумерую действия:
Напоследок дам тебе два полезных совета:
1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.
2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.
Вот тебе задачи для самостоятельного решения:
И обещанная в самом начале:
Ответы:
Решения (краткие):
Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.
Теперь вперед к обучению!
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Базовые операции упрощения:
- Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
- Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
- Сокращение дроби
: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.ВАЖНО: сокращать можно только множители!
- Сложение и вычитание дробей:
; - Умножение и деление дробей:
;
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!