Одним из основных инструментов статистического анализа является расчет среднего квадратичного отклонения. Данный показатель позволяет сделать оценку стандартного отклонения по выборке или по генеральной совокупности. Давайте узнаем, как использовать формулу определения среднеквадратичного отклонения в Excel.
Сразу определим, что же представляет собой среднеквадратичное отклонение и как выглядит его формула. Эта величина является корнем квадратным из среднего арифметического числа квадратов разности всех величин ряда и их среднего арифметического. Существует тождественное наименование данного показателя — стандартное отклонение. Оба названия полностью равнозначны.
Но, естественно, что в Экселе пользователю не приходится это высчитывать, так как за него все делает программа. Давайте узнаем, как посчитать стандартное отклонение в Excel.
Расчет в Excel
Рассчитать указанную величину в Экселе можно с помощью двух специальных функций СТАНДОТКЛОН.В (по выборочной совокупности) и СТАНДОТКЛОН.Г (по генеральной совокупности). Принцип их действия абсолютно одинаков, но вызвать их можно тремя способами, о которых мы поговорим ниже.
Способ 1: мастер функций
Способ 2: вкладка «Формулы»
Способ 3: ручной ввод формулы
Существует также способ, при котором вообще не нужно будет вызывать окно аргументов. Для этого следует ввести формулу вручную.
Как видим, механизм расчета среднеквадратичного отклонения в Excel очень простой. Пользователю нужно только ввести числа из совокупности или ссылки на ячейки, которые их содержат. Все расчеты выполняет сама программа. Намного сложнее осознать, что же собой представляет рассчитываемый показатель и как результаты расчета можно применить на практике. Но постижение этого уже относится больше к сфере статистики, чем к обучению работе с программным обеспечением.
Используется в тех случаях, когда при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин.
Главная сфера её использования – измерение степени колеблемости индивидуальных значений признака относительно средней арифметической (среднее квадратическое отклонение). Кроме этого, средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда необходимо вычислить средний величину признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения (при вычислении средней величины квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т. д.).
Средняя квадратическая рассчитывается в двух формах:
- как простая
как взвешенная
(4.22)
Все степенные средние различаются между собой значениями показателя степени.При этом, чем выше показатель степени, тем больше количественное значение среднего показателя :
Это свойство степенных средних называется свойством мажорантности средних.
Таким образом, выбор вида среднего показателя оказывает существенное влияние на его численную величину. Выбор вида средней определяется в каждом отдельном случае путем анализа исследуемой совокупности, изучения содержания явления. Степенная средняя выбрана правильно, если на всех этапах вычислений не меняется её логическая формула, т.е. реально сохраняется социально-экономическое содержание усредняемого признака.
Особый вид средних показателей – структурные средние. Они используются при изучении внутреннего строения рядов распределения значений признака. К ним относятся мода и медиана.
Мода и медиана характеризуют значение признака у статистической единицы, занимающей определенное положение в вариационном ряду.
Мода (Mo ) - наиболее часто встречаемое значение признака в совокупности. Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и др.
Медиана ( Me ) - значение признака у статистической единицы, стоящей в середине ранжированного ряда и делящей совокупность на две равные по численности части.
Для дискретных вариационных
рядов Mo
и Me
выбираются в
соответствии с определениями: мода -
как значение признака с наибольшей
частотой\
n
i
; положение медианы
при нечетном объеме совокупности
определяется ее номером
,
гдеN
– объем статистической совокупности.
При четном объеме ряда медиана равна
средней из двух вариантов, находящихся
в середине ряда.
Медиану используют как
наиболее надежный показатель типичного
значения неоднородной
совокупности, так как она нечувствительна
к
крайним
значениям признака, которые могут
значительно отличаться от
основного массива
его значений. Кроме этого, медиана
находит
практическое
применение вследствие особого
математического свойства:
.
Рассмотрим определение моды и медианы на следующем примере:
Имеется ряд распределения рабочих участка по уровню квалификации. Данные приведены в таблице 4.4.
Таблица 4.4 - Распределения рабочих участка по уровню квалификации
|
Накопленная |
|||
Мода выбирается по максимальному значению частоты: при n max = 14, Mo = 4, т.е. чаще всего встречается 4-ый разряд. Для нахождения медианы Me определяются центральные единицы (N +1)/2 . Это 25 и 26-ая единицы. По накопленным частотам определяется группа, в которую попадают эти единицы. Это 4-ая группа, в которой значение признака равно 4. Таким образом, Me = 4, это означает, что у половины рабочих разряд ниже 4-го, а у другой – выше четвертого.
В интервальном ряду значения Mo и Me вычисляются более сложным путем.
Мода определяется следующим образом:
По максимальному значению частоты определяется интервал, в котором находится значение моды. Он называется модальным.
Внутри модального интервала значение моды вычисляется по формуле:
где
-
нижняя граница модального интервала;
a Мо - ширина модального интервала;
n Мо , n Мо-1 , n Мо+1 - соответственно частоты модального, предмодального (предшествующего модальному) и постмодального (следующего за модальным) интервалов.
Для расчета медианы в интервальных рядах используется следующий подход:
По накопленным частотам находится медианный интервал.
Медианным называется интервал, содержащий центральную единицу.
Внутри медианного интервала значение Me определяется по формуле:
(4.25)
где
-
нижняя граница медианного интервала;
a Ме -ширина медианного интервала;
N – объем статистической совокупности;
N Ме-1 - накопленная частота предмедианного интервала;
n Ме - частота медианного интервала.
Расчет моды и медианы для интервального ряда распределения рассмотрим на примере ряда распределения рабочих по стажу (табл. 4.5).
Таблица 4.5 - Распределение рабочих участка по стажу
|
Интервал |
а i |
n i |
N i |
||
|
|
|
||||
Расчет Mo :
Максимальная частота n max = 13, она соответствует четвертой группе, следовательно, модальным является интервал с границами 12 – 16 лет.
Моду рассчитаем по формуле:
Чаще всего встречаются рабочие со стажем работы около 13 лет.
Мода не находится в середине модального интервала, она смещена к его нижней границе, связано это со структурой данного ряда распределения (частота предмодального интервала значительно больше частоты постмодального интервала).
Расчет медианы:
По графе накопленных частот определяется медианный интервал. Он содержит 25 и 26-ую статистические единицы, которые находятся в разных группах – в 3-ей и 4-ой. Для нахождения Me можно использовать любую из них. Расчет проведем по 3-ей группе:
Такое же значение Me можно получить при её расчете по 4-ой группе:
При сдвоенном центре Me всегда находится на стыке интервалов, содержащих центральные единицы. Вычисленное значениеMe показывает, что у первых 25 рабочих стаж работы – менее 12 лет, а у оставшихся 25-ти, следовательно, - более 12 лет.
Моду можно определить графически по полигону распределения в дискретных рядах, по гистограмме распределения – в интервальных, а медиану - по кумуляте.
Для нахождения моды в интервальном ряду правую вершину модального прямоугольника нужно соединить с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.
Для определение медианы высоту наибольшей ординаты кумуляты, соответствующей общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.
Кроме Mo иMe в вариантных рядах могут быть определены и другие структурные характеристики – квантили. Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения.Квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности. Различают следующие виды квантилей:
- квартили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 4 равные части;
- децили – значения признака, делящие совокупность на 10 равных частей;
- перцентели - значения признака, делящие совокупность на 100 равных частей.
Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения можно использовать 3 показателя: среднее значение признака ,мода, медиана .
При выборе вида и формы конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:
Для устойчивых социально-экономических процессов в качестве показателя центра используют среднюю арифметическую. Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в которых
= Me
= Mo
;
Для неустойчивых процессов положение центра распределения характеризуется с помощью Mo илиMe . Для асимметричных процессов предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана, поскольку она занимает положение между средней арифметической и модой.
Квадратный корень из дисперсии носит название среднего квадратического отклонения от средней, которое рассчитывается следующим образом:
Элементарное алгебраическое преобразование формулы среднего квадратического отклонения приводит ее к следующему виду:
Эта формула часто оказывается более удобной в практике расчетов.
Среднее квадратическое отклонение так же, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные значения признака от среднего их значения. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Между ними имеется такое соотношение:
Зная это соотношение, можно по известному показатели определить неизвестный, например, но (I рассчитать а и наоборот. Среднее квадратическое отклонение измеряет абсолютный размер колеблемости признака и выражается в тех же единицах измерения, что и значения признака (рублях, тоннах, годах и т.д.). Оно является абсолютной мерой вариации.
Для альтернативных признаков, например наличия или отсутствия высшего образования, страховки, формулы дисперсии и среднего квадратического отклонения такие:
Покажем расчет среднего квадратического отклонения по данным дискретного ряда, характеризующего распределение студентов одного из факультетов вуза по возрасту (табл. 6.2).
Таблица 6.2.
Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 2-5 табл. 6.2.
Средний возраст студента, лет, определен по формуле средней арифметической взвешенной (графа 2):
Квадраты отклонения индивидуального возраста студента от среднего содержатся в графах 3-4, а произведения квадратов отклонений на соответствующие частоты - в графе 5.
Дисперсию возраста студентов, лет, найдем по формуле (6.2):
Тогда о = л/3,43 1,85 *ода, т.е. каждое конкретное значение возраста студента отклоняется от среднего значения на 1,85 года.
Коэффициент вариации
По своему абсолютному значению среднее квадратическое отклонение зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариантов и средней. Поэтому сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с различными средними уровнями непосредственно нельзя. Чтобы иметь возможность для такого сравнения, нужно найти удельный вес среднего отклонения (линейного или квадратического) в среднем арифметическом показателе, выраженном в процентах, т.е. рассчитать относительные показатели вариации.
Линейный коэффициент вариации вычисляют по формуле
Коэффициент вариации определяют по следующей формуле:
В коэффициентах вариации устраняется не только несопоставимость, связанная с различными единицами измерения изучаемого признака, но и несопоставимость, возникающая вследствие различий в величине средних арифметических. Кроме того, показатели вариации дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.
По данным табл. 6.2 и полученным выше результатам расчетов определим коэффициент вариации, %, по формуле (6.3):
Если коэффициент вариации превышает 33%, то это свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Полученное в пашем случае значение говорит о том, что совокупность студентов по возрасту однородна по своему составу. Таким образом, важная функция обобщающих показателей вариации - оценка надежности средних. Чем меньше с1, а2 и V, тем однороднее полученная совокупность явлений и надежнее полученная средняя. Согласно рассматриваемому математической статистикой "правилу трех сигм" в нормально распределенных или близких к ним рядах отклонения от средней арифметической, не превосходящие ±3ст, встречаются в 997 случаях из 1000. Таким образом, зная х и а, можно получить общее первоначальное представление о вариационном ряде. Если, например, средняя заработная плата работника по фирме составила 25 000 руб., а а равна 100 руб., то с вероятностью, близкой к достоверности, можно утверждать, что заработная плата работников фирмы колеблется в пределах (25 000 ± ± 3 х 100) т.е. от 24 700 до 25 300 руб.
В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение . Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.
Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).
Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”
Что такое дисперсия
Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.
Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:
- Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
- Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности ).
- Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).
Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.
Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Сперва найдём среднее значение . Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:
Среднее мм.
Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.
Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего :
Наконец, чтобы вычислить дисперсию , каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:
Дисперсия мм 2 .
Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм 2 .
Как найти среднеквадратическое отклонение
Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:
Мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).
Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).
Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.
То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.
Что такое стандартное отклонение
Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.
Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.
Если есть значений, то:
Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.
Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:
Дисперсия выборки = 
мм 2 .
При этом стандартное отклонение по выборке равно 
мм (округлено до ближайшего целого значения).
Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.
Примечание. Почему именно квадраты разностей?
Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:
.
Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?
На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:
Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.
А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).
Для первого примера получится:
.
Для второго примера получится:
Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.
Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.
И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.
О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал , Сергей Валерьевич
Для расчетов средней геометрической простой используется формула:
Геометрическая взвешенная
Для определения средней геометрической взвешенной применяется формула:
редние диаметры колес, труб, средние стороны квадратов определяются при помощи средней квадратической.
Среднеквадратические величины используются для расчета некоторых показателей, например коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции. Здесь определяют среднеквадратическое отклонение от планового выпуска продукции за определенный период по следующей формуле:
Эти величины точно характеризуют изменение экономических показателей по сравнению с их базисной величиной, взятое в его усредненной величине.
Квадратическая простая
Средняя квадратическая простая вычисляется по формуле:
Квадратическая взвешенная
Средняя квадратическая взвешенная равна:
22. Абсолютные показатели вариации включают:
размах вариации
среднее линейное отклонение
дисперсию
среднее квадратическое отклонение
Размах вариации (r)
Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями признака
Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.
Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет. Решение: размах вариации = 9 - 2 = 7 лет.
Для обобщенной характеристики различий в значениях признака вычисляют средние показатели вариации, основанные на учете отклонений от средней арифметической. За отклонение от средней принимается разность .
При этом во избежании превращения в нуль суммы отклонений вариантов признака от средней (нулевое свойство средней) приходится либо не учитывать знаки отклонения, то есть брать эту сумму по модулю , либо возводить значения отклонений в квадрат
Среднее линейное и квадратическое отклонение
Среднее линейное отклонение - этосредняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.
Среднее линейное отклонение простое:
Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет.
В нашем примере: лет;
Ответ: 2,4 года.
Среднее линейное отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:
Среднее линейное отклонение в силу его условности применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе качества продукции с учетом технологических особенностей производства).
Среднее квадратическое отклонение
Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое откложение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). Среднее квадратическое отклонение () равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака отсредней арифметической:
Среднее квадратическое отклонение простое:
Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:
Между средним квадратическим и средним линейным отклонениями в условиях нормального распределения имеет место следующее соотношение: ~ 1,25.
Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.