Абсолютная и относительная погрешности
С приближенными числами нам приходится иметь дело при вычислениях значений каких-либо функций, либо при измерениях и обработке физических величин, получаемых в результате экспериментов. В том и другом случае нужно уметь правильно записывать значения приближенных чисел и их погрешность.
Приближенным числом а называется число, которое незначительно отличается от точного числа А и заменяет последнее в вычислениях . Если известно, что а < А , то а называется приближенным значением числа А по недостатку; если а > А , – то по избытку. Если а есть приближенное значение числа А , то пишут а ≈ А .
Под ошибкой или погрешностью А приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т.е.
Чтобы получить точное число А , нужно к приближенному значению числа прибавить его ошибку , т.е.
Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа
Из приведенной записи следует, что абсолютной погрешностью приближенного числа а называется модуль разности между соответствующими точным числом А и его приближенным значением а , т.е.
Точное число А чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти ошибку или абсолютную погрешность не представляется возможным. В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической погрешности ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.
Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается всякое число , не меньшее абсолютной погрешности этого числа, т.е.
Если в последней записи вместо использовать формулу (1,1), то можно записать
(1.2)
Отсюда следует, что точное число А заключено в границах
Следовательно, разность есть приближение числа А по недостатку, а
– приближение числа А
по избытку. В этом случае для краткости пользуются записью
Ясно, что предельная абсолютная погрешность определяется неоднозначно: если некоторое число есть предельная абсолютная погрешность, то любое большее, чем положительное число, тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи число ,удовлетворяющее неравенству (1.2).
Например, если в результате измерения получили длину отрезка l = 210 см ± 0,5 см., то здесь предельная абсолютная погрешность = 0,5 см, а точная величина l отрезка заключена в границах 209,5см≤l≤ 210,5см.
Абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности измерения или вычисления. Так, например, если при измерении длин двух стержней получены результаты l 1 = 95,6см ± 0,1см и l 2 =8,3 ± 0,1 см, то, несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, точность первого измерения выше, чем второго. Отсюда видно, что для точности измерений важнее не абсолютная, а относительная погрешность, которая зависит от значений измеряемых величин.
Относительной погрешностью δ приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа А, т.е.
Аналогично предельной абсолютной погрешности используют также определение и для предельной относительной погрешности. Предельной относительной погрешностью данного приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа
т.е. откуда следует
Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а можно принять
Так как на практике А≈а ,то вместо формулы (1.3) часто пользуются формулой
1.2 Десятичная запись приближенных чисел
Всякое положительное десятичное число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной дроби
где – десятичные цифры числа а ( = 0,1,2,...,9), причем старшая цифра а m – число разрядов в записи целой части числа а , а n – число разрядов в записи дробной части числа а . Например:
5214,73... = 5 · 10 3 + 2 · 10 2 + 1 · 10 1 + 4 · 10 0 +7 · 10 -1 + 3 · 10 -2 ... (1.5)
Каждая цифра , стоящая на определенном месте в числе а , написанном в виде (1.4), имеет свой вес. Так, цифра, стоящая на первом месте (т.е. ), весит 10 m , на втором – 10 m -1 и т.д.
На практике мы обычно не пользуемся записью в форме (1.4), а используем сокращенную запись чисел в виде последовательности коэффициентов при соответствующих степенях 10. Так, например, в записи (1.5) мы пользуемся левой от знака равенства формой, а не правой, представляющей разложение этого числа по степеням 10.
На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами в виде конечных десятичных дробей. Для корректного сравнения различных вычислительных и экспериментальных результатов вводят понятие значащей цифры в записи результата. Все сохраняемые десятичные значения (i = m , m- 1,…, m-n+ 1), отличные от нуля, и нуль, если он стоит между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда в конце числа называются значащими цифрами приближенного числа а . При этом нули, связанные с множителем 10 n к значащим не относятся.
При позиционном обозначении числа а в десятичной системе счисления иногда приходится вводить лишние нули в начале или в конце числа. Например,
а = 7·10 -3 + 0·10 -4 + 1·10 -5 + 0·10 -6 = 0,00 7010
b = 2·10 9 + 0·10 8 + 0·10 7 + 3·10 6 + 0·10 5 = 2003000000.
Такие нули (в приведенных примерах они подчеркнуты) не считаются значащими цифрами.
Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля , а также и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения его десятичных разрядов, не причисляются к значащим числам.
Например, в числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как первый из них находиться между значащими цифрами 2 и 8, а второй указывает на то, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10 -6 . В случае, если в данном числе 0,002080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0,00208. С этой точки зрения числа 0,002080 и 0,00208 не равноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе лишь три.
Кроме понятия значащей цифры важным является понятие верной цифры. Следует отметить, что это понятие существует в двух определениях – в узком и широком смыслах .
Определение (в широком смысле). Говорят, что n первых значащих цифр числа (считая слева направо) являются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы (веса) n -горазряда. (Пояснение: 1 10 1 – здесь вес 1 равен 10; 1 10 0 – здесь вес 1 равен 1; 1 10 -1 – здесь вес 1 равен 0,1; 1 10 -2 – здесь вес 1 равен 0,01 и т.д.).
Определение (в узком смысле). Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы (веса) n -горазряда. (Пояснение: 1 10 1 – здесь вес половины 1 равен 5; 1 10 0 – здесь вес половины 1 равен 0,5; 1 10 -1 – равен 0,05 и т.д.).
Например, в приближенном числе 
исходя из первого определения, значащие цифры 3,4 и 5 верные в широком смысле, а цифра 6 – сомнительна. Исходя из второго определения, значащие цифры 3 и 4 являются верными в узком смысле, а цифры 5 и 6 – сомнительные. Важно подчеркнуть, что точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр
.
Как в теоретических рассуждениях, так и в практических применениях большее применение находит определение верной цифры в узком смысле.
Таким образом, если для приближенного числа а, заменяющего число А , известно, что
(1.6)
то, по определению, первые n
цифр 
этого числа являются верными.
Например, для точного числа А = 35,97 число а = 36,00 является приближенным с тремя верными знаками. К этому результату приводят следующие рассуждения. Так как абсолютная погрешность нашего приближенного числа составляет величину 0,03, то по определению она должна удовлетворять условию
(1.7)
В нашем приближенном числе 36,00 цифра 3 является первой значащей цифрой (т.е. ), поэтому m = 1. Отсюда очевидно, что условие (1.7) будет выполняться при n = 3.
Обычно принято при десятичной записи приближенного числа писать только верные цифры. Если известно, что данное приближенное число записано правильно, то по записи можно определить предельную абсолютную погрешность. Именно при правильной записи абсолютная погрешность не превышает половины младшего разряда, который следует за последним верным разрядом (или половины единицы последнего верного разряда, что одно и то же)
Например, даны приближенные числа, записанные правильно: а = 3,8; b = 0,0283; с = 4260. Согласно определению, предельные абсолютные погрешности этих чисел будут: = 0,05; = 0,00005; = 0,5.
При любых измерениях, округлении результатов расчетов, выполнении достаточно сложных подсчетов неизбежно возникает то или иное отклонение. Для оценки такой неточности принято использовать два показателя - это абсолютная и относительная погрешность.
Если от точного значения числа вычесть полученный результат, то мы получим абсолютное отклонение (причем при подсчете от отнимают меньшее). Например, если округлить 1370 до 1400, то абсолютная погрешность будет равна 1400-1382 = 18. При округлении до 1380, абсолютное отклонение составит 1382-1380 = 2. Формула абсолютной погрешности имеет вид:
Δx = |x* - x|, здесь
x* - истинное значение,
x - приближенная величина.
Впрочем, для характеристики точности одного этого показателя явно недостаточно. Судите сами, если погрешность веса составляет 0,2 грамма, то при взвешивании химреактивов для микросинтеза это будет очень много, при взвешивании 200 грамм колбасы вполне нормально, а при измерении веса железнодорожного вагона она и вовсе может быть не замечена. Поэтому часто вместе с абсолютной указывается или рассчитывается также относительная погрешность. Формула данного показателя выглядит так:
Рассмотрим пример. Пусть общее число учеников школы равно 196. Округлим эту величину до 200.
Абсолютное отклонение составит 200 - 196 = 4. Относительная погрешность составит 4/196 или округленно, 4/196 = 2%.
Таким образом, если известно истинное значение некой величины, то относительной погрешностью принятого приближенного значения является отношение абсолютного отклонения приближенной величины к точному значению. Однако в большинстве случает выявить истинное точное значение очень проблематично, а порой и вовсе невозможно. И, следовательно, нельзя рассчитать точное Тем не менее, всегда можно определить некоторое число, которое всегда будет немного больше, чем максимальная абсолютная или относительная погрешность.
Например, продавец взвешивает дыню на чашечных весах. При этом самая маленькая гиря равна 50 граммам. Весы показали 2000 грамм. Это приблизительное значение. Точный вес дыни неизвестен. Однако мы знаем, что не может быть больше 50 грамм. Тогда относительная веса не превосходит 50/2000 = 2,5%.
Значение, которое изначально больше абсолютной погрешности либо в наихудшем случае ей равное, принято называть предельной абсолютной погрешностью или же границей абсолютной погрешности. В предыдущем примере этот показатель равен 50 граммам. Аналогичным образом определяется и предельная относительная погрешность, которая в рассмотренном выше примере составила 2,5%.
Значение предельной погрешности не является строго заданным. Так, вместо 50 грамм мы вполне могли бы взять любое число, большее чем вес наименьшей гири, скажем 100 г или 150 г. Однако на практике выбирается минимальное значение. А если его удается точно определить, то оно и будет одновременно служить предельной погрешностью.
Бывает так, что абсолютная предельная погрешность не указана. Тогда следует считать, что она равна половине единицы последнего указанного разряда (если это число) или минимальной единице деления (если инструмент). К примеру, для миллиметровой линейки этот параметр равен 0,5 мм, а для приближенного числа 3,65 абсолютное предельное отклонение равно 0,005.
Абсолютной погрешностью измерения называется величина, определяемая разницей между результатом измерения x и истинным значением измеряемой величины x 0:
Δx = |x - x 0 |.
Величина δ, равная отношению абсолютной погрешности измерения к результату измерения, называется относительной погрешностью:
Пример 2.1. Приближённым значением числа π является 3.14. Тогда погрешность его равна 0.00159. Абсолютную погрешность можно считать равной 0.0016, а относительную погрешность равной 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051 %.
Значащие цифры. Если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда последней цифры числа a, то говорят, что у числа все знаки верные. Приближённые числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524·10 2 или 0.524·10 5 . Оценить погрешность приближённого числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчёте значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа.
Например, число 0.0283 имеет три верных значащих цифры, а 2.5400 - пять верных значащих цифр.
Правила округления чисел . Если приближённое число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры (d ) округлённого числа. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причём если первая отбрасываемая цифра больше или равна d /2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются (как и лишние нули). Например, если погрешность измерения 0.001 мм, то результат 1.07005 округляется до 1.070. Если первая из изменяемых нулями и отбра-сываемых цифр меньше 5, остающиеся цифры не изменяются. Например, число 148935 с точностью измерения 50 имеет округление 148900. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр или идут нули, то округление производится до ближайшего чётного числа. Например, число 123.50 округляется до 124. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. Например, число 6783.6 округляется до 6784.
Пример 2.2. При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 - 1284 = 16, а при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280 - 1284 = 4.
Пример 2.3. При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200 - 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0.01523 или приближённо 3/200 ≈ 1.5 %.
Пример 2.4. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая - 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число - приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 = 1.4 %.
Погрешности решения задачи на PC
В качестве основных источников погрешности обычно рассматривают три вида ошибок. Это так называемые ошибки усечения, ошибки округления и ошибки распространения. Например, при использовании итерационных методов поиска корней нелинейных уравнений результаты являются приближёнными в отличие от прямых методов, дающих точное решение.
Ошибки усечения
Этот вид ошибок связан с погрешностью, заложенной в самой задаче. Он может быть обусловлен неточностью определения исходных данных. Например, если в условии задачи заданы какие-либо размеры, то на практике для реальных объектов эти размеры известны всегда с некоторой точностью. То же самое касается любых других физических параметров. Сюда же можно отнести неточность расчётных формул и входящих в них числовых коэффициентов.
Ошибки распространения
Данный вид ошибок связан с применением того или иного способа решения задачи. В ходе вычислений неизбежно происходит накопление или, иначе говоря, распространение ошибки. Помимо того, что сами исходные данные не являются точными, новая погрешность возникает при их перемножении, сложении и т. п. Накопление ошибки зависит от характера и количества арифметических действий, используемых в расчёте.
Ошибки округления
Это тип ошибок связан с тем, что истинное значение числа не всегда точно сохраняется компьютером. При сохранении вещественного числа в памяти компьютера оно записывается в виде мантиссы и порядка примерно так же, как отображается число на калькуляторе.
1. Как определять погрешности измерений.
Выполнение лабораторных работ связано с измерением различных физических величин и последующей обработкой их результатов.
Измерение - нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений.
Прямое измерение - определение значения физической величины непосредственно средствами измерения.
Косвенное измерение - определение значения физической величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми прямыми измерениями.
Введем следующие обозначения:
А, В, С, ... - физические величины.
А пр - приближенное значение физической величины, т. е. значение, полученное путем прямых или косвенных измерений.
ΔА - абсолютная погрешность измерения физической величины.
ε - относительная погрешность измерения физической величины, равная:
Δ И А - абсолютная инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора (погрешность средств измерения; см. табл. 1).
Δ 0 А - абсолютная погрешность отсчета (получающаяся от недостаточно точного отсчета показаний средств измерения); она равна в большинстве случаев половине цены деления, при измерении времени - цене деления секундомера или часов.
Таблица 1
Абсолютные инструментальные погрешности средств измерений
| № | Средства измерения | Предел измерения | Цена деления | Абсолютная инструментальная погрешность |
| 1 | Линейка | |||
| ученическая | до 50 см | 1 мм | ± 1 мм | |
| чертежная | до 50 см | 1 мм | ± 0,2 мм | |
| инструментальная (стальная) | 20 см | 1 мм | ± 0,1 мм | |
| демонстрационная | 100 см | 1 см | ± 0,5 см | |
| 2 | Лента измерительная | 150 см | 0,5 см | ± 0,5 см |
| 3 | Измерительный цилиндр | до 250 мл | 1 мл | ± 1 мл |
| 4 | Штангенциркуль | 150 мм | 0,1 мм | ± 0,05 мм |
| 5 | Микрометр | 25 мм | 0,01 мм | ± 0,005 мм |
| 6 | Динамометр учебный | 4 Н | 0,1 Н | ± 0,05 Н |
| 7 | Весы учебные | 200 г | - | ± 0,01 г |
| 8 | Секундомер | 0-30 мин | 0,2 с | ± 1 с за 30 мин |
| 9 | Барометр-анероид | 720-780 мм рт. ст. | 1 мм рт. ст. | ± 3 мм рт. ст. |
| 10 | Термометр лабораторный | 0-100 0 С | 1 0 С | ± 1 0 С |
| 11 | Амперметр школьный | 2 А | 0,1 А | ± 0,05 А |
| 12 | Вольтметр школьный | 6 В | 0,2 В | ± 0,15 В |
Максимальная абсолютная погрешность прямых измерений складывается из абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчета при отсутствии других погрешностей:
Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры (ΔА = 0,17 ≈ 0,2); числовое значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности (А = 10,332 ≈ 10,3).
Результаты повторных измерений физической величины А, проведенных при одних и тех же контролируемых условиях и при использовании достаточно чувствительных и точных (с малыми погрешностями) средств измерения, обычно отличаются друг от друга. В этом случае А пр находят как среднее арифметическое значение всех измерений, а погрешность ΔА (ее называют случайной погрешностью) определяют методами математической статистики.
В школьной лабораторной практике такие средства измерения практически не используются. Поэтому при выполнении лабораторных работ необходимо определять максимальные погрешности измерения физических величин. Для получения результата достаточно одного измерения.
Относительная погрешность косвенных измерений определяется так, как показано в таблице 2.
Таблица 2
Формулы для вычисления относительной погрешности косвенных измерений
| № | Формула для физической величины | Формула для относительной погрешности |
| 1 |  |
|
| 2 | |
|
| 3 | ||
| 4 |  |
Абсолютная погрешность косвенных измерений определяется по формуле ΔА = А пр ε (ε выражается десятичной дробью).
2. О классе точности электроизмерительных приборов.
Для определения абсолютной инструментальной погрешности прибора надо знать его класс точности. Класс точности γ пр измерительного прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная инструментальная погрешность Δ и А от всей шкалы прибора (A max):
Класс точности указывают на шкале прибора или в его паспорте (знак % при этом не пишут). Существуют следующие классы точности электроизмерительных приборов: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Зная класс точности прибора (γ пр) и всю его шкалу (А mах), определяют абсолютную погрешность Δ и А измерения физической величины А этим прибором:
3. Как сравнивать результаты измерений.
1. Записать результаты измерений в виде двойных неравенств:
А 1np - ΔА 1 < А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,
А 2пр - ΔА 2 < А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .
2. Сравнить полученные интервалы значений: если интервалы не перекрываются, то результаты неодинаковы; если перекрываются - одинаковы при данной относительной погрешности измерений.
4. Как оформлять отчет о проделанной работе.
- Лабораторная работа № ... .
- Наименование работы.
- Цель работы.
- Чертеж (если требуется).
- Формулы искомых величин и их погрешностей.
- Таблица результатов измерений и вычислений.
- Окончательный результат, вывод и пр. (согласно цели работы).
5. Как записывать результат измерения.
А = А пр ± ΔА
е = ...%.
Абсолютная погрешность приближения
Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.
Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.
Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью.
Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением.
где х - это точное значение числа, а - его приближенное значение.
Например, в результате измерений было получено число. Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа. Тогда абсолютная погрешность приближения
В случае с бесконечными дробями погрешность приближения определяется по той же формуле. На месте точного числа записывается сама бесконечная дробь. Например, . Здесь получается, что абсолютная погрешность приближения выражена иррациональным числом.
Приближение может выполняться как по недостатку , так и по избытку .
То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15.
Правило округления: если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку; если же меньше пяти, то по недостатку.
Например, т.к. третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.
Вычислим абсолютные погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку:
Как видим, абсолютная погрешность приближения по недостатку меньше, чем по избытку. Значит, приближение по недостатку в этом случае обладает более высокой точностью.
Относительная погрешность приближения
Абсолютная погрешность обладает одним важным недостатком – оно не позволяет оценить степень важности ошибки.
Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 г в свою пользу. Т.е. абсолютная погрешность составила 50 г. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на неё внимания. А если при приготовлении лекарства произойдёт подобная ошибка? Тут уже всё будет намного серьёзней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения.
Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме неё очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение.
Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к точному значению числа.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
Приведём несколько примеров.
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. Округлить количество работающих до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.
Итак, .
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Значит, точность приближения с недостатком выше, чем точность приближения с избытком.
Пример 2. В школе 197 учащихся. Округлить количество учащихся до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.
Итак, .
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Значит, точность приближения с избытком выше, чем точность приближения с недостатком.
Найдите абсолютную погрешность приближения:
числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8;
числа 0,6595 числом 0,7; числом 0,6;
числа числом;
числа числом 0,3;
числа 4,63 числом 4,6; числом 4,7;
числа 0,8535 числом 0,8; числом 0,9;
число числом;
число числом 0,2.
Приближённое значение числа х равно а . Найдите абсолютную погрешность приближения, если:
Запишите в виде двойного неравенства:
Найдите приближённое значение числа х , равное среднему арифметическому приближений с недостатком и избытком, если:
Докажите, что среднее арифметическое чисел а и b является приближённым значением каждого из этих чисел с точностью до.
Округлите числа:
до единиц
до десятых
до тысячных
до тысяч
до стотысячных
до единиц
до десятков
до десятых
до тысячных
до сотен
до десятитысячных
Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите её до тысячных и найдите абсолютную погрешность:
Докажите, что каждое из чисел 0,368 и 0,369 является приближённым значением числа с точностью до 0,001. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,0005?
Докажите, что каждое из чисел 0,38 и 0,39 является приближённым значением числа с точностью до 0,01. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,005?
Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:
5,12
9,736
49,54
1,7
9,85
5,314
99,83
Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.
Радиус Земли равен 6380 км с точностью до 10 км. Оцените относительную погрешность приближённого значения.
Наименьшее расстояние от Земли до Луны равно 356400 км с точностью до 100 км. Оцените относительную погрешность приближения.
Сравните качества измерения массы М электровоза и массы т таблетки лекарства, если т (с точностью до 0,5 т), а г (с точностью до 0,01 г).
Сравните качества измерения длины реки Волги и диаметра мячика для настольного тенниса, если км (с точностью до 5 км) и мм (с точностью до 1 мм).